范畴论

范畴

定义(粗略)

有一些对象如：X,Y,Z和每两个对象有一组态射：f:X->Y

这个态射可以理解为两个对象之间的行为或关系。

范畴中的态射满足以下条件：

1. 每个对象到自身有恒等的态射：X->X
2. 每个态射都有：f:X->Y g:Y->Z 那么就有g·f:X->Z
3. 任何态射f:X->Y与恒等态射的复合满足：$i{d}_x$·f=f=f·$i{d}_x$其中$i{d}_x$:X->X
4. 任何态射都满足结合律

函子

定义

设C,D为范畴，则F:C->D，F为函子

对比范畴和函子 范畴f:x->y 函子:F:X->Y 可以看出函子的描述就是一个范畴与另一个范畴产生态射之后的产物。

通俗来讲就是函子是将一个范畴做一次变换，但是范畴里面元素之间的态射保存不变。并且元素与元素的变换时统一的。

函子范畴

定义

设C,D为范畴，则Func(C,D)，Func为函子范畴

这个描述的是CD之间的所有态射(就是函子的变换集合) 例： $C^{‘}$ -> A -> B->$D^{‘}$ C->P->D 那么这两条逻辑链都能将其归纳到Func里面,同理将其推广到N条也成立。前提是a:$C^{‘}$->C且a(D)->a($D^{‘}$) a为自然变换。 我觉得可以经典的理解为茴香豆的4种写法然后这四种写法的集合视为函子范畴。

群

定义

设G是一个集合，然后有一种运算*(任意的) 就有：

$$\mathrm{\forall }a,\mathrm{\forall }b，\mathrm{\forall }c\in G,\mathrm{\exists }e\in G;$$

满足单位律:

$$e\ast a=a=a\ast e$$

满足结合律

$$(a\ast b)\ast c=(c\ast a)\ast b$$

满足逆元存在性

$$\mathrm{\exists }c\in G;a\ast c=c\ast a=e;c=a^{-1}$$

满足以上这些条件则称该集合为群。(运算可以是任意的不仅仅是算数上的运算)

性质

群是对称的，对称<=>自同构。 群是满足如下条件的范畴：

1. 有且仅有一个对象
2. 所有态射均为自同构。

epimorphism(左复合) monomorphism(右复合) Isomorphism(同构) 满足左复合和右复合且可得出一个单位元：

$$\mathrm{\exists }f,\mathrm{\exists }g\in G;$$$$fg=1;gf=1;<=>g=f^{-1}orf=g^{-1}$$

由范畴和态射可得出： C里的所有态射都是同构的，那么C里面是一个groupoid（群胚） 如果C里面只有一个对象，那么C就是一个群

这里是以另一个角度满足这个定义

product:

$$\mathrm{\forall }p,q1,q2:p->Y,p->X$$$$\mathrm{\forall }l;a1,a2:l->Y,l->X$$

if

$$\mathrm{\exists }s:p->l$$$$\{\begin{array}{l}q1\circ s=a1\\ \\ q2\circ s=a2\end{array}$$

then: P is the product of X and Y(l is only one):

$$P:=X\times Y$$

幺半群

定义

假设有运算：* 就有：

$$\mathrm{\forall }a,\mathrm{\forall }b，\mathrm{\forall }c\in G,\mathrm{\exists }e\in G;$$

满足结合律

$$(a\ast b)\ast c=(c\ast a)\ast b$$

满足单位元

$$e\ast a=a=a\ast e$$

那么他由这个运算构造出来的东西就叫幺半群 他是唯一的伴随二元运算的集合